Seno e Coseno sono funzioni goniometriche.
Lo scopo di questi articoli è quello di (provare a) parlare di cose matematiche/geometriche/topografiche, a volte complesse, in modo semplice.
Devo fare un passo indietro, partendo da un po’ più lontano.
TRIGONOMETRIA PIANA
Tutto quello che hai imparato a scuola (media) su figure piane, perimetri, solidi, aree, volumi, il teorema di Pitagora, …, è importante male ma non ti aiuta nella pratica.
Parlando di poligoni, i teoremi e le relazioni delle geometria elementare legano tra loro SOLO i loro lati O i loro angoli.
Ed è un po’ limitante.
Sì perchè se cerchi di trovare gli angoli di un triangolo conoscendo i suoi lati, non ci riesci.
Fidati, è così…
Ok, non vale il caso del triangolo equilatero!
🙂
Serve qualcosa in più.
Ed ecco che arriva in soccorso la trigonometria piana.
La mission della trigonometria piana è quella di scovare come si relazionano tra loro i lati e gli angoli dei triangoli.
Potrei dire che la trigonometria è aperta di vedute.
Per lei vanno benissimo angoli con angoli, lati con lati e lati con angoli…
Ed anche se può sembrarti un po’ elitaria, chiamando in causa solo i triangoli, la puoi applicare ad ogni figura (piana).
L’area di ogni poligono infatti è sempre scomponibile, disegnando diagonali qua e là, in triangoli.
Ed il triangolo è una delle figure geometriche più potenti che ci sia.
Non so se è così per tutti ma per il topografo sicuramente è così!
Per poter passare di livello, sfruttando davvero la trigonometria piana, serve fare la conoscenza di alcuni nuovi protagonisti, alcune nuove funzioni: le funzioni goniometriche.
Seno, Coseno, Tangente, Arcoseno, Arcocoseno, Cotangete, Arcotangente, Cosecante, …
Sono tutte funzioni goniometriche.
E sono legate tra loro da un’entità geometrica fondamentale, l’angolo (orientato).
Si chiamano funzioni goniometriche proprio perchè sono legate alla misura degli angoli ed il goniometro è lo strumento che li misura (dal greco gonio + metron).
Qualcuno (non molti a dire il veo) le chiama anche funzioni circolari, perchè si costruiscono su una circonferenza particolare (il cerchio goniometrico che ti presento tra poco) o trigonometriche, perchè si usano in trigonometria.
Qui ti parlo di seno e coseno.
IL CERCHIO GONIOMETRICO
Ti dico subito che il cerchio goniometrico non è indispensabile per arrivare alle funzioni goniometriche.
Ma aiuta a capire che cosa sono.
Soprattutto per il seno ed il coseno.
Un cerchio goniometrico (o circonferenza trigonometrica) è un cerchio.
E fin qui tutto bene.
Il suo centro “O” è l’origine di una coppia di assi cartesiani, ortogonali tra loro: X e Y.
Il punto in cui l’asse Y e la circonferenza si intersecano è il punto “A” e da qui si iniziano a misurare gli angoli orientati.
Il lato OA (gli angoli hanno due lati) è il lato origine, quello che si muove attorno ad O .
Il cerchio goniometrico ha il raggio unitario, R=1
Sì ma “1” che cosa?
“1” unità di lunghezza.
Non sono metri, né centimetri.
Il raggio funziona da unità di misura dell’intero sistema cartesiano (anche se non è un granchè dire: “questa lunghezza misura 13 raggi”…)
Questo qui sopra è un cerchio goniometrico ed ora ti dico come da qui si può vedere, subito e graficamente, qual è il seno e quale in coseno.
Prendi il punto B.
B è un punto a caso sulla circonferenza.
Che però può stare solo sulla circonferenza, senza entrare dentro l’area del cerchio né andarsene in giro nell’infinito del piano che c’è all’esterno.
OB è il segmento che lo unisce con il cerchio.
Ed è lungo quanto il raggio.
Siccome siamo in un cerchio goniometrico, ed il raggio è unitario, OB=1.
Qualsiasi posizione assuma B, questa dipenderà solo dall’angolo α.
È come se ci fosse un picchetto piantato in terra in corrispondenza di O a cui qualcuno ha legato una corda alla cui estremità c’è il punto B, che si muove mantenendola (la corda OB) sempre tesa.
La posizione di B dipende davvero solo da α.
E visto che il cerchio goniometrico crea in automatico un piano cartesiano, di centro O, la posizione di B è scomponibile nelle sue due coordinate, XB e YB.
Anche loro dipendono solo dall’angolo α.
PERCHÈ SENO E COSENO
Se sei un professionista che lavora con la misura avrò scritto delle banalità.
Se sei un ricercatore, un professore o un accademico, non sarai arrivato a queste righe finali.
Se sei uno studente, spero che queste righe ti possano tornare utili o, per lo meno, meno sterili di alcune definizioni e trafiletti dei libri di testo.
In ogni caso, seno e coseno sono fondamentali per risolvere i triangoli, che sono le figure geometriche fondamentali nella pratica topografica.
Ogni problema si può semplificare in triangoli.
E se li puoi risolvere riesci a venire a capo della matassa.
È vero che fogli di calcolo e software a bordo degli strumenti di misura fanno tutto per te senza che tu ti debba sbattere più di tanto.
Ma credo che sapere che cosa c’è dietro al risultato sia un’arma che ti porti in tasca e puoi sfoderare ogni volta che le cose si mettono male…
